Funkcja kwadratowa

Funkcja kwadratowa to funkcja postaci:

\( f(x) = ax^2 + bx + c \), gdzie \( a \neq 0 \).

Postać ogólna, kanoniczna i iloczynowa

• Postać ogólna: \( f(x) = ax^2 + bx + c \)
• Postać kanoniczna: \( f(x) = a(x - p)^2 + q \), gdzie \( p = -\frac{b}{2a} \), \( q = f(p) \)
• Postać iloczynowa: \( f(x) = a(x - x_1)(x - x_2) \)

Wyróżnik (Δ)

Wyróżnik równania kwadratowego to:

\( \Delta = b^2 - 4ac \)

Rozwiązania równania \( ax^2 + bx + c = 0 \):

• Jeśli \( \Delta > 0 \): dwa pierwiastki rzeczywiste, \( x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} \)
• Jeśli \( \Delta = 0 \): jeden pierwiastek rzeczywisty, \( x_0 = \frac{-b}{2a} \)
• Jeśli \( \Delta < 0 \): brak pierwiastków rzeczywistych

Przykład

Rozwiąż równanie \( 2x^2 - 3x - 2 = 0 \):

\( \Delta = (-3)^2 - 4\cdot2\cdot(-2) = 9 + 16 = 25 \)

\( x_{1,2} = \frac{3 \pm 5}{4} \Rightarrow x_1 = 2,\; x_2 = -0.5 \)